DERIVADAS PARCIALES

DERIVADAS PARCIALES

 

Cuando nos enfrentamos a una función con más de una variable,  como en este caso en x e y

podemos derivar dicha función en cada una de esas variables. Eso implica que, si derivamos en X, todo lo que aparezca en la función, distinto de dicha X,  se comporta como un número. Así por ejemplo la variable Y de la función pasa a representar un número de valor desconocido. Y viceversa, cuando derivamos en la variable Y, todo lo que aparezca en dicha función, distinto de dicha Y, por ejemplo la variable X, para a representar un numero de valor desconocido. A esas derivadas, de una función de más de una variable, se les denomina derivadas parciales de dicha función. 

La función en dos variables, X e Y, podemos reordenarla para facilitarnos la realización de las derivadas:

Personalmente prefiero la primera forma, y esa voy a utilizar en adelante. Lo primero será reordenar la función para hacer la primera derivada en la variable X

De esa forma podemos ver claramente todo aquello que acompaña a la variable que pretendemos derivar, en este caso la X.

Al derivar respecto a x, el primer elemento nos quedamos con el coeficiente que en este caso es un número desconocido representado por la letra y. La derivada de 3x es similar a la anterior, un coeficiente multiplicando a la variable elevada a la unidad  y nos queda también como resultado el coeficiente, en este caso el número 3. Por último el resto de la función al carecer de variable X, la que estamos derivando, su derivada es cero.

Así pues la primera derivada parcial en x de la función nos queda:

Ahora vamos a hacer la primera derivada parcial en la variable Y. Para eso repetimos el proceso, reordenando la función:

De esa forma podemos ver con claridad nuestra variable a derivar, en este caso la variable Y, 

Como el primer elemento de la función está formado por la variable elevada a la unidad, y el coeficiente, la derivada es solo el coeficiente en este caso el numero x. Lo mismo ocurre con el segundo elemento siendo la derivada el 2. El resto de la función no contiene la variable Y, y por consiguiente la derivada es cero.

Así pues la primera derivada parcial en Y de la función nos queda:

SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES

Con las primeras derivadas parciales completadas, podemos hacer las segundas derivadas parciales. En nuestro ejemplo tenemos cuatro opciones:

 Segunda derivada parcial, las dos en x (consiste en derivar otra vez en x la derivada parcial en la variable x) 

Segunda derivada parcial, la primera en y la segunda en x (consiste en derivar otra vez en x la derivada parcial en la variable y)